F nis wprtste ff os Able cos Hence ninecisem SH 0. Heace the s-tranaform for this fanction does not exist. Because of even symmetry, al the sine terme are 2r0. Hence, the Fourier scree would contain de and sine terms only. Figure S6. The aon ta ede 5 in bcd om 09, Shs Ahh sheuartnvmas, fe Pos 2 gue S Half wave aymmetry. Half wave apmametry. Prom the Table 1. The igual Pig. S, is. This means the signal in Fig. Hence the flter is unrealizable. Also [Cilla [7 Bene Heace the filter ia noncaueal and therefore uarelisale.
Since hi iss Ganesan function delayed by t, it ook as shown ja the adjacent figure. Therefore the Nyquist sampling rater for fst io 20 ils and fr fa i s. The bandwidth of the sum isthe higher of the two, tHat 60s. Fhe Nyquist sumpling rate 10 Ba. Bat is equal 1 convolution of f t with sinc 2B" which isnot timelimited. Since f t in of 10 mu duration, we need sero padding over The sampling frequency F. This smeaas we need to nero-pad f t for 2 oece.
This parmita ws to adjust To to 4. The spectrum is shown in Fig. If 1 isthe inverse Fourier transform of F u , then the desired fH] lies. And son. Thayane Almeida Alves. Jorge Valente. Thiago Silva. Thaina Rios.
Os coeficienles de realimema.. A Fig. As duas realiza.. A diferen.. A partir da Eq. J4a e 5. De acordo com as Eqs. I Com cntiirio. Estes gr:'i- ficos. NiJo exiSle nenhuma contrad:t;ao neste fato. Portanto, a partir da Eq. A freqilencia de amoSlragcm ef. Tal como em sistemas em tempo contlUUO, e possive! Para calcular a resposta em freqileneia H[cf1] caicuiamos H[z] para z '" tfl.
Sejam r l, I"! Si- milarmenle, scjam d 1, t4, E-gil , » to," II Z 1. Lilli::, x l. Tambem preeisamos de uma rapida rec uperao;ao de ganho nos dois lados da freqiiencia Hz. Quanto mais pr6ximo os p6los cstiverern dos zems quanto mais proximo a estiver de I , mais rapida a recuperar;iio de ganho nos dois Jado de Hz. A funo;iio de transferen- 2 cia se torna. EXE R C.
IO ES. A Tabcla 5. Por cxcmplo. A partir da Tabela 5. ESle 6 exatamcntc 0 resu ltado obtido no Exemplo 3. Note que HaUw na Eq. Conseq lememente, lodas esta.. Na Eq. T ou 7f.! T radianos por segundo. Isso implica que H. Em outras palavras. Ou seja, a n:sposta gcrnlmeme existe pard IOd. Portanto, e impasslvel reali Isw pcrmite urn eompromisso en tre a reali7. Quanlo menor 0 valor de T. Como rcgrd nipida,' cscoUlemos T lal que IH. Uco l. Para efeito de dernonstrn9ao do efcito de aliasillg. DeslOl [ obtemos Neste caso.
Para delerminarmos a resposta em fre- qUcncia desse fi llro digital. I'inS faz com que as freqiiencias aeima de nIT apare"am nas freq Hencias abaixo de tr. Isto geralmenle resulta em 11m au- menlo de ganho pam freqiien cias abai xo de tr. Por exem plo. Esle valor, obtido pela Eq. A resposta em amplitude da Eq. A conslantc mu ltiplieativa Knao possui efeito na resposta em fase da Eq. Como a transformada de Laplace de 8. A regill. Alem disso. Tambem vimos que a transformada z e uma ferramen ta qlle expressa lim sinal x[n] como a soma de I:xponen- ciais na fonna z" para lima faixa dc valores continuos de z.
Usando 0 fato de que a resposta de urn sistema LDIT a z" e H f:lz", delenninamos a resposta do sistema a x[n] como sendo a soma das respostas do siSlema a tadas as componentes na forma z" para uma faixa dc valores continuos de z. Uma da- da funq. Discutimos as reaJizaqOes can6nica, lrans- posta can6nica, cascata serie c para1cla. Na Set;iiu 5. De falo, mostramos que a transformada z a transformada de Laplace com uma mudant;a dl: variavel.
A maioria dos sinais de entrada e dos sistema pniticos sao eausais. COllseqiientemente, geralmente trabalha- mos com sinais causais. A RDC de um sinal se lorna irrelevante no processo de amilise. Este casu especial da lransfonnada z a qual e reslrila a sinais causais e chamada de transfonnada z unilateral.
Grande parte do capftulo trabalha com csta transformada. Na transformada bilateral. Lyons, R. Unden-tanding Digital Signal Processing. Discrete-Time Signal PmcessilJ;':, 2nd cd. Mitra, S. A 16m disto, hardware digital e facilmente reprogra- mado. Tipicamente, filtros em tempo discreto sao catcgorizados como resposta infinita Um metoda popular para a ob tenqao de urn filtro llR em tempo dislTeto C pela trans - formaqao de urn projeto de filtro em tcmpo continuo correspondente.
Ela pode ser mais c:fieicnte do que a Eq. A reposta em freq ui! Os pOlus c zeros sao imlicados par 'x ' e ' 0' em preto. Para referi:ncia visual, drcu lo unitario tam bem e mostrado. A ultima linha em MS5P2 cxpande os eixos do grafteo tal que as posh;oes das raizes nao fiquem obseurecidas.
Uma n:gra de mapeamento convene a fuw;ao raciunal H s em uma funr,;ao radunal H z. Existem vari as regras de mapeamento possfveis. Colocadu de outra fomla, senuides mapeadas em scnuides, frcqucn ;ia zero mapeada em frequencia zero, alta freqiiencia mapeada em alta freqUencia e sistemas estaveis mapeados em sistemas estaveis.
A SeIJilo 5. A Ser,:iio 3. MSSPJ milir.. A forma do filtro em tempo discreto segue a Eq. Ap6s algu ma ;j] gcbra. Como filtros em tempo continuo pruticos requerem M; N para estabilidadc, 0 nil mero de zeros adicionados 6 fel i7. A fonnado fi ltro em tempo discreto segue u Eq. Quando verdadeiro. De forma equivalentc. Q '" 2 arctan wTI2. Se urn sistema digital alvo utili Bil inear com pre-v.
A transformao;ilo bi- linear e melhor, mas. Considere, porexemplo, um polio n8mio simples que possui quollU ru fzcs repet idas em - I ,. Em ootras IJiIlavrols, em ampJirude eai pard 0. Deixe sua resposta em 5.
Real ize este lil tro usando a for- dois sistemas LDIT. Qualtipo de filrro t H l [? Ie que a eSlabilidade seja conservada. RDC corrcspondente para cada urn dos sc- e x[n] pode ser de dois lados? Expliq ue. Justifique sua resposta. Sabe-se queX z 5. As expressOes para aO' a,.. A2J ; ,. VIDa r. Neste casu, podemos fazer Tapidamentc cssn llllldano;a convertendo os tcrmos em seno pa- nl Icrrnes em cnsseno com urn deslocamento de fa! Par cxemplo,! As fases das harmonicas fmpares se aheram de pant 90".
Usando as Eqs. A amplitude cc e 2. Delerm ine a scrie trigonometrica compacta de Fourier para 0 sinal de pulso quadrado mostrado na Fig.
S a Sinal peri6dico de pulso quadrado e b seu espectro de Fourier. Ent rehmto. Pottanto, a raziio de quaiMJuer duas freqUencias e na fomla n. Isso signifiea que a nu:ao de qu aisque r duas frequencias e urn numero racional. Quando a razao de duus freqtlencias e urn nu- mero racional, as freqtlenci as silo ditas serem harlllonicalllellle re lacionadas. J c: Jmponentes de Fourier. Ra rdmCnJc vcmos lais panicuJaridade.
Alben Michelson dn celebre Michelson-MoTley foi urn hornern energic l e pnltico que desenvolveu inslru- memos fisicos engenh osos de cxtrllordinfirin precisao. Esse analisador. Michelson obsen'ou que 0 inslmmento verificava mu ito bern a maioria dos sinais analisados. A soma das 80 corn ponenle. Um grande nilmcro de termos lomava as oscilac;:Oes proporcional- men le mais rapidas.
Esse componamcnto intrigante fez. Josiah Wi llard Gibbs, professor cm Yule. Poslcriormente, em BOcher generaliw u n resultado para qualq uer func;:ao om dcscontinuidade. G ibbs momou que 0 comportamcnto pecu- liar na sflllese de uma onda quadrdda era inc rcnle ao eomponamento da sen c de f'Ourier, devido a eonvcrgencia nao uniforme nos pomos de descollli nuidade. Entrelanto, nao foi n fim da hist6ria. I gencrico, real ou complexo. Quando x t ereaL an e h.
A partir da s Eqs. I em funo;ao de w e llma Cum;au par de 00 e 0 espectro de angulu L. Determ ine a serie exponencial de Fourier do sinal da Fig. As oom ponentes exponen- da is cspr:clr"Jis existem em 0, 3, 6, 9 e Considc:re prim! Do"'" C" '" I '" ID.
I para n posilivo c mctade do! A componentecc e Procedendo da mesma muneira, x' t , 0 sinal eorrespondente ao espcctro da Fig. A largura de faixa do sinnl eujo espcetro expollenciai csta moslr.. A freq iiencia nmis alta C 9 c a mais baixa e O. NOle que a componente de fn:qiiem:ia 12 possui amplitude e zero e.
Na rcalidadc. Vamos cornCljar com al guns cam. Por exemplo. Usando essa definlljao. Como visto na Fig. Da Fig. Sc aproximarmos x percy. Portanto, , ,. Conseqiicntemente, C "" O. Tendo a Eq. T t eyer 6. Sabemos que a energia do sinal e um a posslvelmedida dn tamanho do sinal. Panl uma melbor aproxima4iiio.
Para minlmizar E,. Essa e a defillivao geral para ortogonalidadc, a qual sc rcduz para a Eq. A cnergia da soma de dois sinais ortogonais Ii igual ii soma das cnc r- gias dos dois sinais. Esse resultado pocic seT estendido para a soma de qnaJqucr numcro dc sillais mutuamcnlc ortogonais. Sabemlls que urn vetor pOOe ser reprcsentado pcla soma de velores ortogonais, os qu ais form am um sistema de coordenadas de um cspar;o veto- rial.
Portanto, as c Jnstanlcs c 1 e "l sao dadus pcla Eq. Vamos delerminar. Tais veto- res sau conilecidos como vetrJl"es de base. A escolha dos vetores de base nao e unica.
Propriedade dn dctermina"iio: A Eq. Por exemplo,. A van tagclll dcssn aproxi- e mar;iio do sinal XCI por um conjunlo de sinais nmtuamente ortogMaiS que podemos continuar adicionando ter- mos Estc valor minima de E, dado pela Eq.
Quando isso acontece. Neste caso. QU seja. Tal como urn vetor. Poliuomios de Legendre. I , ela pode ser estentlida pam qual- quer intervalo aplicando 0 escalamento temporal aprupriado yeja 0 Prob. Essa funrrao pode ser rcpresentada pela serie de Fourier de Legendre:. Dessa forma, obtemos 6. Similarmente, apesar de nao ter sido milizado, 0 comando min do MA1LAB detcr- mina c localiza 0 valor minimo. Fases escolhidas aieatoriamcntc soffern de uma falha fatal: existe pouea garantia de performance 6tima.
Par exemplo, repelindo 0 experimento com rand 'state'. Esse valor e significativamcllIe maior do ljue 0 valor anterior de 7,2 volm. Claramen- te. Vfuias escolhas exislem. Ol , 2fJl ; Um perfodo completo garante que touus os valores de met sejam considerados. Varias tccnicas numericas de minimizm;ao sao eapazes de determinar apenas mrnimos locais e fminsearch nao euma excevao.
Apesar dos sinais mostrados nas Figs. Eles diferem apenas nu espet:tro de fase. E interessante investigar as similarida- des e diferenr;as desses sinais, mas de forma distinta de grafieos e matematiea. Por exemplo, existe uma diferen- l,':a audfvcl entre estes sinais'!
Os sinals restantes sau criados e tocados de maneira semelhanle. Quao bern 0 ouvido humane distingue as dife- rem;as no espectro de fase? Se os termos em seno ou sao temporal de x t mostrado na Fig. Por nos Oll cossenos. Niin deter- Se quisennos que a freqU encia fund amen tal mine os valores dos cocficientes de Fourier. Se qui sermos que a serie cun tenharn 6.
J ra os sinais peri6di- tru imos 0 pUISO. R c na qual c escolhido para minimizur a eoergia 6. Ca1culc a energia do erro na reprc- b Voce pode explicar o re. Em OUiras palavra. Ocs ononorma is e b Obtenha 0 sinal de erro e l e sua energia possui grande importilucia prlitica em aplica- E,. Moslrc que o,sinal de eno eortogonal a ,,6es di gi ta is. Voce pode expli- geI'"Jdas poTein:ui ros l6gicCls e porque a mul- caresse resultado emtermos de "etcres'! Re- contida em y t.
Pela tkfini"ao [Eq. Claramente, nem lodos os sinais possuem sua IrJnsfunnada de fourier. Como a lransfonnada de Fourier C oblida aqui como urn caso limite da serie de Fourier. Pode ser moslrado que se. X w eJ""dw entao a Eq. Tal como na serie de f ourier, se.
Alcm disso, nos puntos de descontinu idade. X I converge para 0 valor medio entre os dois valores de. As condic;6e. Esse resu ltado podc ser estendi do p. Tal espccti'o f6. Um cxemplo fami liar de distribu ilOao contin ua t! Uma medida signilkativa da ca rga nesta SilUalOiio nao e a cal'ga no ponto. Seja X y a dcnsidade de carga por uni dade de comprimento na U'ave. Tcmos, entae, que a carga sobre urn compri mcnto da! Para obtennos a carga IOtal na Irave dividimos a Lr.
X ll toy toy. No casu da carga discrcta Fig. II carga exisLe apenas cm n pontos discretl s. Nos ouLro , pomus nli o cxistc carga. A carga em urn pequeno intcrvalo toy. Porta nte.
I t e peri6dic , 1 cspccuo e discre- to e. Ou seja, n espectro existc pal'll todo valor de W, mas a amplitude de ada componeme no espa:Lm t! Para representar urn sinal eonstante. Omra forma de analisar e. Usnndo a propriedaue de amoslragc m dn fu no;:ilo impulso, oblemos Portanlo, I. Podemos obter n mesma eonclus:l. ClI 6lf1. A panir da Eq. Logo, pmlemos obler faci lmenle a trans- formada de rou rier d e um sinal peri6dico usando a propriedade da Iineari dade da Eq. Jut:K 6 13 A serie de Fourier para urn trem de impulso unitario 8", 1.
Trnce x t. Iss sig- nilica que a transformada de Fourier pode ser obtida dn transfonnadade Fourier correspondentc fazendo. Sim e nao. A RES Pro"'a. Da Eq. Il Nes te exemplo.
Porta ll O, a propriedadc da duaJidade 7. Esse re- sullado aparece como paT 18 da Tabela 7. Tahela 7. Similarmente, a fum;ao X « I 'a representa a fum;:i!. A propriedade de escala- memo lfinlla que a compresstJo tempo de lin! Intuilivamenle, a eomprcssi!. Similanllcnte, urn sinal expan didu no tempo varia mais lenlamcntc. I, apesar do ar'! Isso comprova 0 fluo dt: que paro "bter WH mesmo alnlSO de tempo, sen6ide. Mas 0 especllo de fase passu; um lenno linear adicionado igual a - 3ro Determine a tnmsfonnada de f'OUricr dcste sinaI e trace sell espectro.
Sc varies s inais. Sera impossiveJ separar ou recupero-los on receptor. Pam isso. Esse procetlimento de. Urn receptor de mdio pode escolher qualqucr csta! A demodulat;ao, ponanto. CAI'fruu17 A. R cmos q ue. Em ouua. Tabela 7. Para delenn inarmos a transformada de Fourier desse pulso, iremos diferenciar 0 pulso sucessivamente. Como dxldt e urna constante. No caso do domfnio do tem po, e. No primeiro caso, a rcsp osta y et obtida pelo somat6rio das re spostas do sistema as componen tes imp ulsi - vas resulta na in tegral de convo!
No do minio da frequc! Essas ;l! Para 0 easo no domfnio da frcqilencia.. X I como sendo a soma de ""' - componcntcs exponenciais da dUnlt; il. Ele en. Niio c por coincidencia que utiliwmos a fu nijAo impulso na anAlise nodomfnio do tempo c a exponencial tr' no estudo no dominio da freq lieneia. Qual e a maior frcqUcncia A partir da Eq.
I linhns concclando! Similarmenle, scjam d 1, t4, EXE R C. IO ES. A conslantc mu ltiplieativa Knao possui efeito na resposta em fase da Eq. Os pOlus c zeros sao imlicados par 'x ' e ' 0' em preto. Para referi:ncia visual, drcu lo unitario tam bem e mostrado. A ultima linha em MS5P2 cxpande os eixos do grafteo tal que as posh;oes das raizes nao fiquem obseurecidas. Uma n:gra de mapeamento convene a fuw;ao raciunal H s em uma funr,;ao radunal H z.
Quando verdadeiro. I1 ma rncnsngem de crco mando retl,lrn finali z. De forma equivalentc. Q '" 2 arctan wTI2. Se urn sistema digital alvo utili Bil inear com pre-v. A transformao;ilo bilinear e melhor, mas. Considere, porexemplo, um polio n8mio simples que possui quollU ru fzcs repet idas em - I ,. I - 0 -"'" --'rrfl 0 n F igura P5. Qualtipo de filrro t H l [? A2J ; ,. Jp l harmuni! As fases das harmonicas fmpares se aheram de pant 90". Usando as Eqs. A amplitude cc e 2.
Delerm ine a scrie trigonometrica compacta de Fourier para 0 sinal de pulso quadrado mostrado na Fig. S a Sinal peri6dico de pulso quadrado e b seu espectro de Fourier. Ent rehmto. Pottanto, a raziio de quaiMJuer duas freqUencias e na fomla n.
Isso signifiea que a nu:ao de qu aisque r duas frequencias e urn numero racional. Quando a razao de duus freqtlencias e urn numero racional, as freqtlenci as silo ditas serem harlllonicalllellle re lacionadas.
J c: Jmponentes de Fourier. I gencrico, real ou complexo. Quando x t Eqs. A partir da s Eqs. I em funo;ao de w e llma Cum;au par de 00 e 0 espectro de angulu L. Determ ine a serie exponencial de Fourier do sinal da Fig.
As oom ponentes exponenda is cspr:clr"Jis existem em 0, 3, 6, 9 e Considc:re prim! Do"'" C" '" I '" ID. I para n posilivo c mctade do! A componentecc e Na rcalidadc. Vamos cornCljar com al guns cam. Por exemplo. Usando essa definlljao. Como visto na Fig. Da Fig. Tais vetores sau conilecidos como vetrJl"es de base. A escolha dos vetores de base nao e unica. Sup rimeir.. Tal como urn vetor. Poliuomios de Legendre. Dessa forma, obtemos 6.
Similarmente, apesar de nao ter sido milizado, 0 comando min do MA1LAB detcrmina c localiza 0 valor minimo. Fases escolhidas aieatoriamcntc soffern de uma falha fatal: existe pouea garantia de performance 6tima. Par exemplo, repelindo 0 experimento com rand 'state'. Esse valor e significativamcllIe maior do ljue 0 valor anterior de 7,2 volm. Vfuias escolhas exislem. Ol , 2fJl ; Um perfodo completo garante que touus os valores de met sejam considerados.
Varias tccnicas numericas de minimizm;ao sao eapazes de determinar apenas mrnimos locais e fminsearch nao euma excevao. Apesar dos sinais mostrados nas Figs. Eles diferem apenas nu espet:tro de fase. E interessante investigar as similaridades e diferenr;as desses sinais, mas de forma distinta de grafieos e matematiea.
Por exemplo, existe uma diferenl,':a audfvcl entre estes sinais'! Os sinals restantes sau criados e tocados de maneira semelhanle. Quao bern 0 ouvido humane distingue as diferem;as no espectro de fase?
Se os termos em seno ou cosseno estiverem ausentes da serie de Fourier. Use esse fato para ohter a scrie de Fourier para yet dos resultados do Exemplo 6. Termos em cosseno implicam possfve l com ponente cc. Niin determine os valores dos cocficientes de Fourier. R c na qual c escolhido para minimizur a eoergia do crro. Uma medida signilkativa da ca rga nesta SilUalOiio nao e a cal'ga no ponto.
Seja X y a dcnsidade de carga por uni dade de comprimento na U'ave. Tcmos, entae, que a carga sobre urn compri mcnto da! Para obtennos a carga IOtal na Irave dividimos a Lr.
X ll toy toy. No casu da carga discrcta Fig. II carga exisLe apenas cm n pontos discretl s. Nos ouLro , pomus nli o cxistc carga. A carga em urn pequeno intcrvalo toy. Porta nte. I t e peri6dic , 1 cspccuo e discreto e. Para representar urn sinal eonstante. Omra forma de analisar e. A panir da Eq. Figura 7. Logo, pmlemos obler faci lmenle a transformada de rou rier d e um sinal peri6dico usando a propriedade da Iineari dade da Eq. Jut:K 6 13 A serie de Fourier para urn trem de impulso unitario 8", 1.
A partir da Eq. A RES Pro"'a. Da Eq. Il Nes te exemplo. Isso comprova 0 fluo dt: que paro "bter WH mesmo alnlSO de tempo, sen6ide.
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